Estrazzjoni tal-għerq ta 'numru kumpless

F'din il-pubblikazzjoni, se nħarsu lejn kif tista 'tieħu l-għerq ta' numru kumpless, u wkoll kif dan jista 'jgħin biex issolvi ekwazzjonijiet kwadratiċi li d-diskriminant tagħhom huwa inqas minn żero.

Estrazzjoni tal-għerq ta 'numru kumpless

Għerq kwadru

Kif nafu, huwa impossibbli li tieħu l-għerq ta 'numru reali negattiv. Iżda meta niġu għal numri kumplessi, din l-azzjoni tista 'titwettaq. Ejja insemmu.

Ejja ngħidu li għandna numru z = -9. Għal √-9 hemm żewġ għeruq:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Ejja niċċekkjaw ir-riżultati miksuba billi nsolvu l-ekwazzjoni z² =-9, ma ninsewx li i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Għalhekk, aħna ppruvajna li -3i и 3i huma għeruq √-9.

L-għerq ta 'numru negattiv normalment jinkiteb hekk:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i eċċ.

Għeruq għall-qawwa ta n

Ejja ngħidu aħna jingħataw ekwazzjonijiet tal-forma z = ⁿ√w… Għandu n għeruq (z₀, Ta '₁, Ta '₂,…, z_n-1), li jistgħu jiġu kkalkulati permezz tal-formula hawn taħt:

|w| huwa l-modulu ta' numru kumpless w;

φ – l-argument tiegħu

k huwa parametru li jieħu l-valuri: k = {0, 1, 2,..., n-1}.

Ekwazzjonijiet kwadratiċi b'għeruq kumplessi

L-estrazzjoni tal-għerq ta 'numru negattiv tbiddel l-idea tas-soltu ta' uXNUMXbuXNUMXb. Jekk id-diskriminanti (D) huwa inqas minn żero, allura ma jistax ikun hemm għeruq reali, iżda jistgħu jiġu rappreżentati bħala numri kumplessi.

Eżempju

Ejja nsolvu l-ekwazzjoni x² – 8x + 20 = 0.

Soluzzjoni

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, iżda xorta nistgħu nieħdu l-għerq tad-diskriminant negattiv:

√D = √-16 = ±4i

Issa nistgħu nikkalkulaw l-għeruq:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Għalhekk, l-ekwazzjoni x² – 8x + 20 = 0 għandha żewġ għeruq konjugati kumplessi:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i