Jgħolli numru kumpless għal qawwa naturali

F'din il-pubblikazzjoni, se nikkunsidraw kif numru kumpless jista' jittella' għal qawwa (inkluż l-użu tal-formula De Moivre). Il-materjal teoretiku huwa akkumpanjat minn eżempji għal fehim aħjar.

Jgħollu numru kumpless għal qawwa

L-ewwel, ftakar li numru kumpless għandu l-forma ġenerali: z = a + bi (forma alġebrin).

Issa nistgħu nipproċedu direttament għas-soluzzjoni tal-problema.

Numru kwadru

Nistgħu nirrappreżentaw il-grad bħala prodott tal-istess fatturi, u mbagħad insibu l-prodott tagħhom (filwaqt li niftakru li i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Eżempju 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Tista 'wkoll tuża, jiġifieri l-kwadru tas-somma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Nota: Bl-istess mod, jekk meħtieġ, jistgħu jinkisbu formuli għall-kwadru tad-differenza, il-kubu tas-somma / differenza, eċċ.

Nth grad

Għolli numru kumpless z in natura n ħafna aktar faċli jekk tkun rappreżentata f'forma trigonometrika.

Ftakar li, b'mod ġenerali, in-notazzjoni ta 'numru tidher bħal din: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Għall-esponenzjazzjoni, tista 'tuża formula ta' De Moivre (hekk imsejjaħ wara l-matematiku Ingliż Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Il-formula tinkiseb billi tikteb f'forma trigonometrika (il-moduli huma mmultiplikati, u l-argumenti huma miżjuda).

Eżempju 2

Għolli numru kumpless z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) sat-tmien grad.

Soluzzjoni

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).