X'inhu l-limitu ta 'funzjoni

F'din il-pubblikazzjoni, se nikkunsidraw wieħed mill-kunċetti ewlenin ta 'analiżi matematika - il-limitu ta' funzjoni: id-definizzjoni tagħha, kif ukoll diversi soluzzjonijiet b'eżempji prattiċi.

Determinazzjoni tal-limitu ta' funzjoni

Limitu tal-funzjoni – il-valur li għalih għandu tendenza l-valur ta’ din il-funzjoni meta l-argument tagħha għandu tendenza lejn il-punt ta’ limitu.

Rekord tal-limitu:

• il-limitu huwa indikat mill-ikona lim;
• taħt huwa miżjud x'valur għandu t-tendenza li l-argument (varjabbli) tal-funzjoni. Normalment dan x, iżda mhux neċessarjament, pereżempju:x→1″;
• imbagħad il-funzjoni nnifisha tiżdied fuq il-lemin, pereżempju:

  

Għalhekk, ir-rekord finali tal-limitu jidher bħal dan (fil-każ tagħna):

Taqra simili "il-limitu tal-funzjoni kif x għandu tendenza għall-unità".

x→ 1 – dan ifisser li "x" b'mod konsistenti tieħu valuri li jersqu infinitament lejn l-unità, iżda qatt ma jikkoinċidu magħha (ma tintlaħaqx).

Limiti ta' deċiżjoni

B'numru partikolari

Ejja nsolvu l-limitu ta 'hawn fuq. Biex tagħmel dan, sempliċement ibdel l-unità fil-funzjoni (minħabba x→1):

Għalhekk, biex insolvu l-limitu, l-ewwel nippruvaw sempliċement nissostitwixxu n-numru mogħti fil-funzjoni taħtu (jekk x għandu tendenza għal numru speċifiku).

Bl-infinità

F'dan il-każ, l-argument tal-funzjoni jiżdied infinitament, jiġifieri, "X" għandha tendenza għall-infinita (∞). Pereżempju:

If x→∞, allura l-funzjoni mogħtija għandha t-tendenza li nieqes l-infinit (-∞), għaliex:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 eċċ.

Eżempju ieħor aktar kumpless

Sabiex issolvi dan il-limitu, ukoll, sempliċement iżżid il-valuri x u ħares lejn l-"imġieba" tal-funzjoni f'dan il-każ.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Għalhekk, għal "X"tendenza għall-infinità, il-funzjoni x² +3x –6 jikber b'mod indefinit.

B'inċertezza (x għandu tendenza għall-infinit)

F'dan il-każ, qed nitkellmu dwar limiti, meta l-funzjoni hija frazzjoni, li n-numeratur u d-denominatur tagħhom huma polinomji. Fejn "X" tendenza għall-infinit.

Eżempju: ejja nikkalkulaw il-limitu hawn taħt.

Soluzzjoni

L-espressjonijiet kemm fin-numeratur kif ukoll fid-denominatur għandhom tendenza għall-infinit. Wieħed jista' jassumi li f'dan il-każ is-soluzzjoni tkun kif ġej:

Madankollu, mhux kollha daqshekk sempliċi. Biex insolvu l-limitu għandna bżonn nagħmlu dan li ġej:

1. Sib x għall-ogħla qawwa għan-numeratur (fil-każ tagħna, huwa tnejn).

2. Bl-istess mod, aħna niddefinixxu x għall-ogħla qawwa għad-denominatur (ukoll ugwali tnejn).

3. Issa naqsmu kemm in-numeratur kif ukoll id-denominatur bi x fi grad għoli. Fil-każ tagħna, fiż-żewġ każijiet - fit-tieni, imma jekk kienu differenti, għandna nieħdu l-ogħla grad.

4. Fir-riżultat li jirriżulta, il-frazzjonijiet kollha għandhom tendenza għal żero, għalhekk it-tweġiba hija 1/2.

B'inċertezza (x għandu tendenza għal numru speċifiku)

Kemm in-numeratur kif ukoll id-denominatur huma polinomji, madankollu, "X" tendenza għal numru speċifiku, mhux għall-infinit.

F'dan il-każ, aħna kondizzjonalment nagħlqu għajnejna għall-fatt li d-denominatur huwa żero.

Eżempju: Ejja nsibu l-limitu tal-funzjoni hawn taħt.

Soluzzjoni

1. L-ewwel, ejja nissostitwixxi n-numru 1 fil-funzjoni, li għaliha "X". Ikollna l-inċertezza tal-forma li qed nikkunsidraw.

2. Sussegwentement, niddekomponu n-numeratur u d-denominatur f'fatturi. Biex tagħmel dan, tista 'tuża l-formuli ta' multiplikazzjoni mqassra, jekk huma adattati, jew.

Fil-każ tagħna, l-għeruq tal-espressjoni fin-numeratur (2x² – 5x + 3 = 0) huma n-numri 1 u 1,5. Għalhekk, jista 'jiġi rappreżentat bħala: 2(x-1)(x-1,5).

Denominatur (x–1) hija inizjalment sempliċi.

3. Aħna nġibu limitu modifikat bħal dan:

4. Il-frazzjoni tista' titnaqqas b'(x–1):

5. Jibqa' biss li jissostitwixxi n-numru 1 fl-espressjoni miksuba taħt il-limitu: